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Modèle plus élaboré

La fréquence mesurée expérimentalement correspond à une longueur de tuyau encore plus grande que la longueur géométrique augmentée de la longueur de rayonnement. On peut donc admettre que le mouvement de l'air dans le tuyau entraîne un peu de gaz aux extrémités du tuyau et qu'il faut rajouter une longueur $l_0$ aux deux longueurs précédentes. On fait la mesure avec des évents de différentes longueurs géométriques et on cherche si on trouve le même $l_0$. En fait, là encore, cela ne marche pas.

On est donc amené à envisager un autre phénomène: sur la paroi du tuyau le frottement fait que les molécules d'air ont une vitesse nulle. Au centre la vitesse est maximale, on peut donc admettre que tout se passe comme si on avait une surface de tuyau plus faible que la surface géométrique. Cela revient à admettre l'existence d'une sorte de couche limite au voisinage de la paroi. Il faut donc remplacer la surface géométrique $\Sigma _2$ par une surface plus petite $\Sigma '_2$. Ainsi nous serons amené à vérifier la formule:

$$f_2=54.\sqrt{\frac{\Sigma '_2}{V.[l_2+l'_0]}}$$

pour diverses valeurs de $l_2$ et en posant $l'_0=l_0+l_R$.

On voit que deux expériences suffisent pour déterminer $\Sigma '_2$ et $l'_0$. Avec deux mesures supplémentaires on peut tester la validité du modèle. Le mesure a été faite avec une enceinte de volume de l'ordre de $8 litres$. Les évents étaient découpés dans du tuyau de PVC de diamètre intérieur $43 mm$, les longueurs géométriques en étaient $4$,$8$ ,$12$ et $16 cm$. Dans le calcul du volume de l'enceinte dans chaque cas on a tenu compte de l'encombrement intérieur du tuyau, cela fait une petite correction.

Pour l'établissement des équations il est commode de calculer le terme, qui a les dimensions d'un vecteur d'onde:

$$K^2=\frac{\omega _2^2}{c^2}$$

pour chaque longueur de tuyau on a alors la relation

$$\Sigma '_2=K^2.V.[l_2+l_R+l_0]$$

La longueur de rayonnement est ici de $1,08 cm$, en prenant les valeurs extrêmes de $l_2$ on calcule $\Sigma '_2$ et $l_0$ et on reporte dans les valeurs médianes pour voir l'accord avec le modèle. On a trouvé $l_0=1,54.10^{-2} m$ et $\Sigma '_2=11.10^{-4} m^2$. En reportant, on trouve pour $l_2=8 cm$ $\Sigma '_2=11,2.10^{-4} m^2$ et pour $l_2=12\ cm$ $\Sigma '_2=11,3.10^{-4} m^2$. L'écart ne dépasse pas $3 \%$, ce qui est tout à fait satisfaisant pour ce genre de modèle.

Le lecteur curieux pourra refaire les calculs à l'aide du tableau suivant qui donne les valeurs numériques expérimentales:

$l_2 cm$	$V litres$	$T_2 ms$	$K^2$
$4$	$8,60$	$13,290$	$1,934$
$8$	$8,52$	$16,597$	$1,240$
$12$	$8,45$	$19,913$	$0,916$
$16$	$8,37$	$22,043$	$0,703$

Il sera aussi facile de vérifier que ces valeurs ne permettent pas de vérifier les deux modèles envisagés au début.

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