Les fonctions "test" du Physicien

Tout système physique reçoit une ou plusieurs grandeurs d'entrée et fournit une ou plusieurs grandeurs de sortie. Les relations entre ces grandeurs (ou plutôt de leur représentation par des fonctions) sont le plus souvent de nature différentielle et le problème est de déterminer les grandeurs de sortie connaissant les grandeurs d'entrée. La solution serait extrêmement compliquée s'il fallait prendre toutes les fonctions connues en entrée. On se limite à un petit nombre d'entre elles qu'on appelle "fonctions test". Le comportement du système soumis à ces fonctions permettra de prévoir le comportement du système dans le cas général.

Un système initialement au repos depuis un temps très grand peut voir brusquement varier ses grandeurs d'entrée à partir d'un temps choisi comme origine des temps. L'étude de l'évolution des grandeurs de sortie en fonction du temps constitue l'étude transitoire du système, en choisissant comme fonctions d'entrée des fonctions simples du temps. Nous utiliserons peu cette étude ici car elle nécessite dans le cas général l'emploi des transformées de LAPLACE qui dépasserait le cadre de ce livre.

La méthode la plus simple d'étude des systèmes physiques linéaires est l'analyse harmonique. Définissons d'abord ce qu'est un système linéaire : on dit qu'un système est linéaire quand l'ensemble des relations différentielles qui le régit est lui même linéaire (les fonctions et leurs dérivées n'interviennent que multipliées par des constantes, il n'y a pas de produits de fonctions ou de dérivées). Le lecteur curieux peut se demander pourquoi on choisit des systèmes linéaires, c'est uniquement parce que ce sont les seuls pour lesquels on sait faire des calculs simples. Nous verrons plus tard que le comportement du haut-parleur n'est qu'approximativement linéaire et que cela pose quelques problèmes.

Prenons, pour simplifier l'exposé, le cas d'un système linéaire qui ne possède qu'une grandeur d'entrée et une grandeur de sortie. La relation entre les fonctions représentant ces grandeurs est une relation différentielle linéaire que nous n'écrirons pas pour l'instant. De façon très simplifié on dit qu'un tel système est stable, si lorsque la grandeur d'entrée est nulle depuis longtemps, la grandeur de sortie l'est aussi. Ce problème de stabilité ne se pose d'ailleurs pas pour le haut-parleur. Si nous choisissons en entrée une fonction sinusoïdale du temps de pulsation $\omega$ depuis un temps très grand on démontre que l'on a en sortie une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation. Pour déterminer cette solution on peut écrire les diverses dérivées et identifier terme à terme. La méthode est très lourde et on a trouvé mieux pour simplifier les calculs. C'est la méthode des amplitudes complexes qui fait l'objet de la section suivante et que nous demandons au lecteur de bien assimiler car sur elle reposeront tous les calculs importants de ce livre.

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mystic 2005-08-23