Approximation des basses fréquences

Jusqu'à ce point du calcul nous n'avons pas fait intervenir les dimensions de la source. Supposons maintenant que le rayon de la sphère source soit très petit devant la longueur d'onde $\lambda$ du son émis soit $R\ll\lambda$ . Comme $\lambda=2 \pi/k$ il vient $k.R\ll 1$ . On peut écrire, sur la surface de la sphère, $Rv=-(1+jkR)\Phi$ et, par un calcul d'approximation

$\begin{displaymath}\Phi=-R.v.(1-jkR)\end{displaymath}$

Sur la sphère de rayon , l'onde émise modifie les propriétés de la surface $\Sigma$ . On peut admettre qu'il existe une force de pression $f=p.\Sigma$ ce qui donne

$\begin{displaymath}f=p.\Sigma=j\omega\mu_0 R.(1-jkR)\Sigma.v\end{displaymath}$

Or $j\omega v$ est l'accélération "

" d'un point de la surface de la sphère, on peut donc écrire:

$\begin{displaymath}f=\mu_0 R\Sigma.a -k\omega\mu_0 R^2\Sigma.v \end{displaymath}$

On voit donc apparaître une masse (facteur de

) que nous appellerons "masse de rayonnement" $m_R=\mu_0 R\Sigma$ et une force de frottement fluide de type "

". En tenant compte de ce que $\Sigma=4\pi R^2$ et en ne conservant que la valeur de $\Sigma$ dans les calculs il vient

$\begin{displaymath}m_R=\frac{\mu_0}{2\sqrt{\pi}}.\Sigma^{3/2} h=\frac{\mu_0\Sigma^2\omega^2} {4\pi c}\end{displaymath}$

on constate que la masse de rayonnement est indépendante de la pulsation, ce qui sera bien commode, en revanche la force de frottement fluide est très sensible à la valeur de la pulsation. Les calculs numériques que nous mènerons plus loin nous montreront, malgré tout, que, devant les frottements mécaniques, cette force est faible.

Il nous reste à déterminer la constante du potentiel des vitesses. On suppose toujours la rayon de la sphère petit devant la longueur d'onde et on désigne par la valeur maximale de la vitesse $v=v_0.\exp (j\omega t)$ . On négligera le terme dans l'expression de $\Phi$ :

$\begin{displaymath}\Phi=-Rv_0\exp(j\omega t)=\frac{A}{R}\exp(j\omega t) A=-v_0.R^2\end{displaymath}$

La fonction $\Phi$ prend alors l'expression en un point à la distance

$\begin{displaymath}\Phi(r)=-\frac{R^2.v}{r}\exp(-jkr)\end{displaymath}$

où

désigne toujours la vitesse en un point de la sphère source. La pression au point loin de la sphère source s'écrit alors:

$\begin{displaymath}p=-\mu_0j\omega\Phi=\mu_0.\frac{4\pi R^2}{4\pi r}j\omega v.\exp(-jkr)\end{displaymath}$

Or $j\omega v$ est l'accélération d'un point de la sphère source et $4\pi R^2a$ représente le flux d'accélération $\phi_a$ sortant de la surface de la source, de sorte que l'on peut écrire:

$\begin{displaymath}p=\frac{\mu_0\phi_a}{4\pi r}\exp(-jkr)\end{displaymath}$

Nous en retiendrons le résultat important suivant: la pression sonore en un point à la distance

de la source est inversement proportionnelle à

et proportionnelle au flux d'accélération sortant de la source.

Par ailleurs on peut faire le calcul de la célérité dans le cas d'un gaz parfait. Nous avons déjà vu (2.3) que le coefficient de compressibilité adiabatique vaut $\chi=1/\gamma P_0$ . Pour une mole d'un gaz parfait, de masse molaire , la masse volumique s'écrit . Par ailleurs l'équation des gaz parfaits donne , soit $\chi\mu_0=M/\gamma RT_0$ et

$\begin{displaymath}c=\sqrt{\frac{\gamma RT_0}{M}}\end{displaymath}$

Pour une température de $20^\circ C$ , la célérité du son dans l'air est de l'ordre de $340 m.s^{-1}$ .

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mystic 2005-08-23